A1 EVN – ALGEBRĂ: Mulțimi de numere. Operații cu numere reale (clasele V-VII) ➗

NUMERE ÎNTREGI

Mulțimea numerelor întregi se notează cu Z

Z = {-…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Z_ = {-…, -3, -2, -1}

Z+ = {1, 2, 3, …}

Z = Z_ ⋃ {0} ⋃ Z+

∀ a ∈ Z, numărul –a reprezintă opusul său

Exemple:

Opusul lui 3 este -3

Opusul lui -5 este 5

NUMERE ÎNTREGI

Valoarea absolută (modulul) transformă orice număr întreg într-un număr pozitiv

|a| ≥ 0 ; |0| = 0

Exemple:

|-2| = 2 ; |2| = 2

Regula semnelor la înmulțire și împărțire (se folosește și la desfacerea parantezelor)

(+) ⋅ (+) = + ; (+) ⋅ ( – ) = –

(-) ⋅ (+) = – ; (-) ⋅ (-) = +

NUMERE ÎNTREGI

Reguli la adunarea și scăderea numerelor întregi

Desfacem parantezele dupa regula semnelor

Dacă numerele au același semn, copiem semnul comun și adunăm modulele lor.

Dacă numerele au semne contrare, copiem semnul numărului cu modulul mai mare și scădem modulele lor

–a + a = a + (-a) = 0

Exemplu:

-2 – (-3) + (-7) = -2 + 3 – 7 = 1 – 7 = -6

NUMERE ÎNTREGI

Reguli la înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Înmulțim sau împărțim semnele după regula semnelor

Înmulțim sau împărțim modulele lor

Exemple:

(-7) ⋅ (-2) ⋅ (+3) = +42

(-24) : (-3) : (-2) = (+8) : (-2) = -4

Reguli la ridicarea la putere cu exponent natural:

(−a)ⁿ={aⁿ , n=par−aⁿ,n=impar

Exemplul 1

(−1)⁵+(−1)⁴+(−1)³+(−1)²+(−1)= −1+1+(−1)+1+(−1)= =0+0−1=−1

NUMERE ÎNTREGI

Exemplul 2

(−2)³<(−3)²⟺−8<9

Exemplul 3

(−3)³⁹> (−2)⁶⁵⟺ (−3)^3∙13>(−2)^5∙13⟺ [(−3)³]¹³>[(−2)⁵]¹³⟺ (−27)¹³>(−32)¹³

⟺−27¹³>−32¹³

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

1. Opusul numărului 3 este:

a) 3

b) -3

c) 0

d)−13

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

2. Ordinea descrescătoare a numerelor -10, 2, 0, -8 este:

a) -10, -8, 2, 0

b) 2, 0, -10, -8

c) 2, 0, -8, -10

d)-10, -8, 0, 2

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

3. Rezultatul calculului -2 – (-3) + (-2) este:

a) -1

b) -3

c) 3

d) 0

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

4. Dacă a = 24:(-3) – 8:(-2) și b = 30:(-5) + 2:(-2) atunci 2⋅a + 3⋅b este:

a) -14

b) -54

c) 22

d) -28

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

5. Rezultatul calculului (-2)2 + (-2)3 : 22 este:

a) 4

b) 2

c) 0

d) -1

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

6. Ordinea crescătoare a numerelor (-2)3 , (-2)2 , (-2)4 , -2 este:

a) (-2) , (-2)2 , (-2)3 , (-2)4

b) (-2)4 , (-2)3, (-2)2 , (-2)

c) (-2)3 , (-2) , (-2)2 , (-2)4

d) (-2)3 , (-2)2 , (-2) , (-2)4

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

7. Rezultatul calculului |2 – 5| – |8 – 9|⋅|10 – 5| este:

a) 2

b) 5

c) -5

d) -2

NUMERE ÎNTREGI – Aplicații

8. Rezultatul calculului -28 : (-7) – (-4)⋅(+5) – (-3)0 + (-3)1 este:

a) -20

b) -18

c) 20

d) -28

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q

Q = { ab | a, b ∈Z, b≠0, (a,b)=1}

ab se numește fracție ordinară ;

a se numește numărător iar b se numește numitor

Avem egalitatea a=a1 iar linia de fracție „ – „ semnifică operația de împărțire.

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

{− subunitare (a<b) − echiunitare (a=b) − supraunitare (a>b)

Fracții ordinare

La fracțiile supraunitare putem scoate întregii din fracție:

ab=crb ; a : b = c rest r ⇒ a = c⋅b + r

Procedeul invers se numește introducerea întregilor în fracție.

crb=c∙b+rb=ab

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

Clasificarea fracțiilor zecimale

{− finite m,n ;m,0 −infinite(periodice){−simple m,(n)− mixte m,p(n)

Fracții zecimale

La fracțiile periodice mixte, n se numește perioada, p este neperioada iar m este partea întreagă.

Cifrele de după virgulă formează partea zecimală.

La fracțiile zecimale finite putem adăuga oricâte zerouri la sfârșitul părții zecimale.

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

Orice fracție zecimală se poate transforma în fracție ordinară astfel:

1. a,b₁b₂…b_n=ab₁b₂b₃…b_n10ⁿ

2. a,(b₁b₂b₃…b_n)=ab₁b₂b₃…b_n−a999…9(de n ori)

3. ab₁…b_n(c₁…c_m)=ab₁b₂…b_nc₁c₂…c_n − ab₁b₂…b_n99…900…0(m ori) ( n ori)

Exemplul 1: 1,25=125100⁽²⁵=54

1,(3)=13−19=129⁽³=43

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

Operații cu fracții ordinare

1. Amplificarea și simplificarea (cu orice număr natural nenul)

^m)ab=a∙mb∙m ; ab^(m=a:mb:m

O fracție care nu se mai poate simplifica se numește fracție ireductibilă.

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

2. Adunarea și scăderea

Aceste operații se pot efectua doar dacă fracțiile se aduc la același numitor prin amplificare.

La efectuarea adunării sau scăderii fracțiilor ordinare dupa ce le aducem la același numitor, adunăm sau scădem numărătorii și copiem numitorul comun.

Exemple

1) 3)12+ 2)13+16=3+2+16=66=1

2) 123−34=1∙3+23−34= 4)53− 3)34=20−912=1112

Observație: Numitorul comun reprezintă cmmmc al tuturor numitorilor fracțiilor.

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

3. Înmulțirea și împărțirea (nu aducem la același numitor)

La înmulțire putem simplifica orice numărător cu orice numitor și apoi înmulțim numărătorii și numitorii între ei.

ab∙cd=a∙cb∙d

ab:cd=a∙db∙c

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

4. Ridicarea la putere

Se efectuează operațiile cu puteri la fel ca la N

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

(ab)⁻ⁿ=(ba)ⁿ=bⁿaⁿ

a⁻ⁿ=(a1)⁻ⁿ=(1a)ⁿ=1ⁿaⁿ=1aⁿ

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

Operații cu fracții zecimale finite

1.Adunarea și scăderea

Așezăm numerele virgulă sub virgulă și efectuăm operațiile

Exemplu: 2,34 + 4 – 1,5 = 2,34 + 4,00 – 1,50 = 6,34 – 1,50 = 4,84

2. La înmulțire nu ținem cont de poziția virgulei și le așezăm unele sub altele aliniate la dreapta, facem înmulțirea iar la rezultat punem virgula de la dreapta la stânga după atâtea cifre câte zecimale au în total factorii înmulțirii.

NUMERE RAȚIONALE. OPERAȚII CU NUMERE RAȚIONALE

3. La înmulțirea cu o putere a lui 10 mutăm virgula către dreapta cu atâtea cifre câte are exponentul puterii iar la împărțire mutăm virgula spre stânga.

Exemplu:

1,24 ⋅ 10 = 12,4

1,24 : 10 = 0,124

4. La împărțirea fracțiilor zecimale finite este obligatoriu să avem împărțitorul număr natural așa că înmulțim atât deîmpărțitul cât și împărțitorul cu o putere a lui 10 (în funcție de câte zecimale are împărțitorul) și apoi efectuăm operația.

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

1. Rezultatul calculului 38+1112 este:

a) 3548

b) 3524

c) 2112

d) 2120

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

2. Rezultatul calculului 1,2 + 1,(2) este:

a) 3290

b) 1945

c) 28190

d) 10945

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

3. Rezultatul calculului 3∙(13)²+125 :415 este:

a) 289

b) 283

c) 1360

d) 1415

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

4. Scris sub formă de fracție ordinară numărul 1,2(3) este:

a) 12390

b) 12290

c) 3730

d) 12090

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

5. Media aritmetică a numerelor 0,2 ; 1,24 ; 0,3 este:

a) 0,58

b) 1,3

c) 0,87

d) 0,43

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

6. Rezultatul calculului 1,205 ⋅ 0,35 + 1,44 : 0,2 este:

a) 7,62175

b) 1,14175

c) 0,14175

d) 8,32175

NUMERE RAȚIONALE – Aplicații

7. Rezultatul calculului (−23)³+(−13)³+(−13)² este:

a) −827

b) −49

c) 19

d) −29

NUMERE REALE. OPERAȚII CU NUMERE REALE

Mulțimea numerelor reale se notează cu R.

1. √a=m⟺a=m² ; a≥0 , m≥0

2. √a²=|a|

3. (√a)²=a ; (√a)ⁿ=√aⁿ

4. √a^2k∙b=|a^k|∙√b

Exemple:

√16=4 deoarece 42 = 16

√16a²=|4a|=4|a|

(√2)²=2

(√2)³=√2³=√8=2√2

√(−2)²=|−2|=2

NUMERE REALE. OPERAȚII CU NUMERE REALE

Introducerea factorilor sub radical

a√b=√a²∙b

Pentru a compara numerele reale se introduc factorii sub radical și se compară valoarea de sub radical.

Exemple:

2√3<3√2⟺√2²∙3<√3²∙2⟺√12<√18

−2√5>−5√2⟺−√2²∙5>−√5²∙2⟺−√20>−√50

NUMERE REALE. OPERAȚII CU NUMERE REALE

Operații cu radicali

1. Adunarea și scăderea doar pentru termenii asemenea (care au același număr sub radical)

a√b±c√b=(a±c)√b

2. Înmulțirea și împărțirea

Înmulțim sau împărțim coeficienții între ei și radicalii între ei

a√b∙c√d=ac√bd

a√b :c√d=ac√bd

NUMERE REALE. OPERAȚII CU NUMERE REALE

3. Ridicarea la putere

(a√b)ⁿ=aⁿ√bⁿ

Media geometrică

Pentru a, b ∈ R+ ⇒ Media geometrică M_g=√a∙b

Inegalitatea mediilor

Media aritmetică este întotdeauna mai mare sau egală cu media geometrică: ma ≥ mg

Egalitatea mediilor are loc când numerele a și b sunt egale.

NUMERE REALE – Aplicații

1. Fie mulțimea A = {-2,3 ; 13 ; √3 ; √25 ; −√94 ; -5 }. Atunci A ∩ Z este:

a) { √25 ; -5 }

b) {-5}

c) {√25 ; -5 ; -2,3 }

d) {√25 ; -4 ; -2,3 ; 13 }

NUMERE REALE – Aplicații

2. Rezultatul calculului √14+2√916−√12164 este:

a) −18

b) 58

c) −12

d) 18

NUMERE REALE – Aplicații

3. Rezultatul calculului √3²+4² este:

a) 7

b) 5

c) √17

d) √14

NUMERE REALE – Aplicații

4. Ordinea crescătoare a numerelor 2√3 ; 3√2 ; √6 ; √8 este:

a) 2√3 < 3√2 < √6 < √8

b) √6 < √8 < 2√3 < 3√2

c) √6 < √8 < 3√2 < 2√3

d) √6 < 2√3 < √8 < 3√2

NUMERE REALE – Aplicații

5. Rezultatul calculului √2(2√2+√8)−2√8 : √2 este:

a) 10√2

b) 4

c) 4√2−4

d) √2

NUMERE REALE – Aplicații

6. Rezultatul raționalizării fracției 152√5 este:

a) 15√52

b) 3√52

c) 3√54

d) 3√510

NUMERE REALE – Aplicații

7. Media geometrică a numerelor a=2√2+√8+√32 și b=√128−4√2 este:

a) √20

b) 8

c) 12√2

d) 8√2